$x=\tan x$ の正の実数解のうち、$n$ 番目に小さいものを $x_n$ とします。
無限級数 $\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{x_n^2}$
が収束するので、その値を求めてください。
問題の方程式は、$\tan x =x \Longleftrightarrow \dfrac{\sin x}{x} - \cos x = 0$ のように変形できます。
関数 $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を $f(z)=\dfrac{\sin z}{z} - \cos z$ と定めたとき、$f$ の正の実根の逆二乗和が求める級数の値です。
$f(0)=1$ と定めれば、$f$ は $\mathbb{C}$ 上で正則です。
ところで、$f(z)$ は偶関数なので、$\alpha$ が $f$ の実根のとき、$-\alpha$ もまた $f$ の実根です。
ここで、$f$ の実根を $\pm\alpha_n$ $(0\lt |\alpha_1|\lt|\alpha_2|\lt\cdots, n=1,2,\cdots)$ とすれば、Hadamardの因数分解定理（何それ？って人はこの記事を参照すると良いでしょう。）によって、$g:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$ を高々 $1$ 次の多項式とすれば、$f(z)$ は次の形で表すことができます。$f(z)=z^2e^{g(z)}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{\alpha_n^2}\right)$
$f$ が偶関数であることから、$g(z)$ は定数関数です。$f(z)$ のTaylor展開$f(z)=\frac{z^2}{3}-\dfrac{z^4}{30}+O(z^6)$ と比較して、$e^{g(z)}=\dfrac{1}{3}$ を得られます。
したがって、$f(z)=\frac{z^2}{3}\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{\alpha_n^2}\right)=\frac{z^2}{3}\left(1-\left(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\alpha_n^2}\right)z^2+O(z^4)\right)$
$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\alpha_n^2}$ の収束性は問題文より保証されているので、Taylor展開と比較して、$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{\alpha_n^2}=\sum_{n=1}^\infty\dfrac{1}{x_n^2}=\dfrac{1}{10}$です。